L'espace-temps \(M_4\) est une unique structure à 4 dimensions qui mélange espace et temps.
Cet espace possède une structure affine (Evénement) et métrique (produit scalaire \(\vec u.\vec v=\eta(\vec u,\vec v)\), \(\eta\) la métrique).
On parle de la structure métrique \((M_4,\eta)\).
L'élément de longueur \(ds^2\) s'écrit par deux événements \(M\) et \(M+dM\):
$$ds^2={{\eta_{\mu\nu} dx^{\mu}dx^{\nu} }}$$
$$\eta_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}-1\quad &0\quad &0\quad &0\\ 0\quad &1\quad &0\quad &0\\ 0\quad &0\quad &1\quad &0\\ 0\quad &0\quad &0\quad &1\end{pmatrix}$$
Avec \(\eta_{\mu\nu}\) la Métrique de Minkowski
De manière générale, \(\eta_{\mu\nu}\) peut être n'importe quelle métrique de la courbure de l'espace-temps considéré.
Vecteurs
\(\triangleright\) Types de vecteurs de l'espace-temps
Il existe 3 types de vecteurs dans l'espace-temps:
\(\vec u\) est de genre temps si: \(\vec u.\vec u\lt 0\)
\(\vec u\) est de genre espace si: \(\vec u.\vec u\gt 0\)
\(\vec u\) est de genre lumière si: \(\vec u.\vec u=0\)
On dit qu'un espace-temps \((M,g)\) est stationnaire s'il existe une base \((x^\alpha)\) dans laquelle :
$${{\partial_t \,g_{\alpha\beta}=0}}$$
Avec : \(g\) la métrique
C'est-à-dire une base dans laquelle la métrique est indépendante du temps \(t\).
Dans ce cas, le vecteur champs \(\vec u\) est de genre lumière (\(\vec u.\vec u\lt 0\)).
\(\triangleright\) Espace-temps statique
Un espace-temps statique est un cas particulier des espace-temps stationnaire.
Pour qu'un espace-temps \((M,g)\) soit statique, il faut qu'il soit stationnaire et que son vecteur champ \(\vec u\) soit orthogonal aux hypersurfaces spatiales (à \(t\) fixe).
Soit :
$${{\text{Hypersurface}\quad \Sigma_t=\{p\in M, \,\, t=constante\}}}$$
$${{\text{orthogonalité}\quad \vec u\perp \Sigma_t}}$$
$${{\text{stationnaire}\quad\partial_t\,g_{\alpha\beta}=0}}$$
\(\triangleright\) Espace-temps à symétrie sphérique
Un espace-temps \((M,g)\) est à symétrie sphérique s'il existe une base \((x^\alpha)= (ct,r,\theta,\phi)\) tel que :
$${{\{p\in M,\,\,t=c^{te},\,\,r=c^{te}\}=\Bbb S^2\quad\text{Sphère dim 2} }}$$
Ce qui a pour conséquence de trouver une invariance par rotation selon \(\phi\) de la métrique \(g\) : \({{\partial _\phi\,g_{\alpha\beta} }}=0\)
